Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
Examenul de bacalaureat naţional 2019  
Proba E. c)  
Matematică M_şt-nat  
Model  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii  
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.  
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.  
SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete.  
(30 de puncte)  
2
1. Arătați că numărul a =  
1
1   
este întreg, unde i2 =−1.  
5
p
p
1i 1+i   
2. Determinați cel mai mare număr natural m pentru care soluțiile ecuației x27x +m =0 sunt  
5
numere reale.  
x
3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 +3x+1 +3x+2 =117 .  
5p  
5
p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 36 de submulțimi cu  
două elemente.  
5
p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(3,3) și C(3,0). Determinaţi ecuaţia  
medianei din C a triunghiului ABC .  
p 6. Determinați x 0,πpentru care cos xsin(πx)sin xcos(π+x)=1.  
5
2   
SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete.  
(30 de puncte)  
2x +ay +z =1  
2
3
a
1  
1
. Se consideră matricea A(a)=  
2a 1 1 și sistemul de ecuații 3x +(2a 1)y +z =1  
,
a 3  
a
1
(a 3)x +ay +z =2a 1  
unde a este număr real.  
5
5
5
p
p
p
a) Arătați că det(A(0))=−5 .  
b) Determinați numerele reale a pentru care det(A(a))=0 .  
2
0
c) Pentru a =1, determinați soluțiile (x0, y0, z0 ) ale sistemului pentru care x =y0z0 .  
2
. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă xy =5xy 5(x +y)+6 .  
a) Demonstrați că x y =5(x 1)(y 1)+1, pentru orice numere reale x și y .  
b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care xx x <26.  
5
5
p
p
1
1
1
5
p c) Determinați numărul natural nenul n pentru care 2 ∗  
2 ∗  
(n +1) (n +2)  
2 =−19 .  
n
SUBIECTUL al III-lea –- Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete.  
(30 de puncte)  
. Se consideră funcţia f :(0,+∞), f (x)=ln x2  
(x 1).  
1
x
a) Arătaţi că f '(x)=x 2 , x(0,+∞).  
5
p
p
x2  
5
b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcţiei f  
este perpendiculară pe dreapta de ecuație y =x .  
π  
<0 .  
5p  
c) Demonstrați că f  
2   
Probă scrisă la matematică M_şt-nat  
Model  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii  
Pagina 1 din 2  
Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
2
. Se consideră funcţia f :, f (x)=x2 +1.  
3
5
p
p
a) Arătați că0 f (x)dx =12.  
x
5
b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g :, g (x)=  
, axa  
f (x)  
Ox și dreptele de ecuații x =0 și x =1.  
x
5p  
c) Demonstrați că există un unic număr real x pentru care0  
e f (t)dt =x .  
Probă scrisă la matematică M_şt-nat  
Model  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii  
Pagina 2 din 2  
Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
Examenul de bacalaureat naţional 2019  
Proba E. c)  
Matematică M_şt-nat  
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  
Model  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii  
Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.  
Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în  
limitele punctajului indicat în barem.  
Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat  
pentru lucrare.  
SUBIECTUL I  
(30 de puncte)  
3p  
1
.
.
1
1
(1+i)(1i)=2i  
= =i  
12 i2  
2
1
i 1+i  
a =i2 =−1, care este număr întreg  
2
p
2
∆=49 4m  
2p  
0 m −∞, 49, deci cel mai mare număr natural m pentru care soluțiile ecuației  
4   
3
p
sunt numere reale este 12  
3
4
.
.
x
1+3 +32 =1173 =9  
x
3
3p  
(
)
x =2  
2
C =36 , unde n este numărul de elemente ale mulțimii  
n
2p  
3p  
n(n 1)=  
36, deci n =9  
2
2p  
2p  
5
6
.
.
Mijlocul segmentului AB este punctul M (1,1)  
Ecuația medianei din C este y +1=12 (x 1), deci y =1 x32  
cos xsin x +sin xcos x =1sin 2x =1  
3p  
3p  
2p  
2
Cum x 0,π, obținem x =π  
2   
4
SUBIECTUL al II-lea  
(30 de puncte)  
1
.a)  
b)  
c)  
2  
3
0
1  
2
0
1
A(0)=  
1 1 det(A(0))= 31 1 =  
2p  
3p  
3p  
2p  
3  
0
1
3  
0
1
=
2 +0 +0 30 0 =−5  
2
3
a
1
det(A(a))=  
2a 1 1 =−a2 +6a 5 , pentru orice număr real a  
a 3  
a
1
a =1 sau a =5  
2x +y +z =1  
Pentru a =1 , sistemul este 3x +y +z =1 și, scăzând primele două ecuații, obținem  
3
p
2x +y +z =1  
x0 =0, deci y0 +z0 =1  
2
x =y0z0 y0z0 =0 , deci soluțiile sunt (0,1,0) sau (0,0,1), care convin  
0
2p  
Probă scrisă la matematică M_şt-nat  
Model  
Barem de evaluare şi de notare  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii  
Pagina 1 din 2  
Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
2
.a) xy =5xy 5x 5y +5+1 =  
3p  
2p  
=
5x(y 1)5(y 1)+1 =5(x 1)(y 1)+1, pentru orice numere reale x și y  
b)  
c)  
2
3
x x =5(x 1) +1, x x x =25(x 1) +1  
2p  
3
3
p
(
x 1) <1 x(−∞,2)  
1
1 +1 1  
1  
 1  
 1  
 1  
(1n)(n +3)=−  
n(n +2)  
4
5
2
5
1  
+1  
1  
+1 +1=−19 ⇔  
3p  
  
  
  
  
  
n
n n +1 n +1 n +2 n +2  
Cum n este număr natural nenul, obținem n =3  
SUBIECTUL al III-lea  
2p  
(30 de puncte)  
1
.a)  
1
2x 2(x 1)=  
f (x)=  
3p  
2p  
x2  
x
x 2x +2x 2 =  
xx22 , x(0,+∞)  
=
x2  
b)  
Tangenta la graficul funcției f în punctul (a, f (a)) este perpendiculară pe dreapta de  
ecuație y =x f '(a)=−1  
3
p
a 2 =  
1a2 +a 2 =0 a =−2 , care nu convine sau a =1, care convine  
2p  
2p  
3p  
a2  
c)  
f '(x)<0, pentru orice x(0,2) f este strict descrescătoare pe (0,2)  
0
<1<π2 <2 fπ< f (1) și, cum f (1)=0 , obținem fπ <0  
2   
2   
2.a)  
3
3
3
x
3
f (x)dx = (x2 +1)dx = +x =  
3p  
2p  
3p  
2p  
2p  
0
0
3
0
=2  
7 +3 0 =12  
3
b)  
c)  
1
1
1
x
x2 +1  
x
dx =1 ln(x2 +1)0 =  
g (x)=  
A = g (x)dx =  
0
x2 +1  
0
2
=1  
2
ln 2  
x
Funcția h :, h(x)= e f (t)dt x este derivabilă și h'(x)=ex2 +11  
0
h'(x)>0 pentru orice număr real x , deci h este strict crescătoare pe h este injectivă  
x
3
p
și, cum h(0)=0 , există un unic număr real x pentru care0  
e f (t)dt =x  
Probă scrisă la matematică M_şt-nat  
Model  
Barem de evaluare şi de notare  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii  
Pagina 2 din 2