Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
Examenul de bacalaureat naţional 2019  
Proba E. c)  
Matematică M_pedagogic  
Model  
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare  
•
•
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.  
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.  
SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete.  
(30 de puncte)  
5
p 1. Arătați că 2 3 − 20 + 45 − 5 + 4 − 12 =2.  
5p  
2. Se consideră funcția f :ℝ→ℝ, f (x)=x +7 . Calculați f (a), unde a = f (3)− f (1).  
. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2x2 +4x +1 =x +1.  
5
p
p
3
5
4. După două ieftiniri succesive cu câte 50% , un obiect costă 100 de lei. Calculați prețul inițial al  
obiectului.  
5p  
5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M (−2,−2), N (−2,0) şi P(0,−4). Determinați  
lungimea medianei din vârful M al triunghiului MNP .  
5p  
6
. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu BC =10 și m(∢B)=30°. Calculaţi lungimea  
laturii AB .  
SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete.  
(30 de puncte)  
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x∗y =2xy −2x −2y +3.  
1. Arătați că 2∗2 =3 .  
5
5
p
p
2. Demonstrați că x∗y =2(x −1)(y −1)+1, pentru orice numere reale x și y .  
3. Arătați că e =3 este elementul neutru al legii de compoziţie „∗”.  
5
5
p
2
p 4. Verificați dacă 5 este simetricul lui 2 în raport cu legea de compoziţie „∗”.  
4
5
5
p
p
5. Determinați numerele reale x pentru care (x +1)∗(x −1)=1.  
6. Determinați numerele naturale nenule n pentru care n∗(n +1)≤5.  
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete.  
(30 de puncte)  
Se consideră matricele A =  
1
4 , B = 5 −1  
și I2 =  
1 0  
0 1  
.
−3 −2  
−2  
1
5
p
p
1. Arătați că det A =10 .  
2. Arătaţi că B ⋅B =6B −3I2 .  
5
3. Determinați numerele reale x și y pentru care xA +yB =  
7
7   
.
5p  
−8 −3  
5
p
p
4. Determinaţi inversa matricei B .  
5
5. Arătați că matricea X ∈M2 (ℝ), care verifică egalitatea A +X =B , este inversabilă.  
6. Demonstrați că det(A +aI2 )>0 , pentru orice număr real a .  
5p  
Probă scrisă la matematică M_pedagogic  
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare  
Pagina 1 din 1  
Model  
Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
Examenul de bacalaureat naţional 2019  
Proba E. c)  
Matematică M_pedagogic  
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  
Model  
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare  
•
Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.  
Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în  
limitele punctajului indicat în barem.  
•
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat  
pentru lucrare.  
SUBIECTUL I  
(30 de puncte)  
1
.
.
2
3 − 20 + 45 − 5 + 4 − 12 =2 3 −2 5 +3 5 − 5 +2 −2 3 =  
3p  
2p  
=(2 3 −2 3 + −2 5 +3 5 − 5 +2 =2  
) (  
)
2
f (3)=10 , f (1)=8 ⇒ a = f (3)− f (1)=2  
f (a)= f (2)=9  
3p  
2p  
3
4
.
.
x2 +4x +1=x2 +2x +1⇒ x2 +2x =0  
2
p
2
x =−2 , care nu convine sau x =0 , care convine  
Prețul după prima ieftinire este x −50 ⋅x =x , unde x este prețul inițial al obiectului  
3p  
2p  
100  
2
Prețul după a doua ieftinire este − 50  
x
⋅
x
=
x
, deci =100 ⇒ x =400 de lei  
x
3p  
2
100 2  
4
4
5
6
.
.
Mijlocul segmentului NP este punctul Q(−1,−2)  
MQ =1  
3p  
2p  
AB  
cosB =BC  
3 = AB  
2 10  
⇒
3p  
AB =5 3  
2p  
SUBIECTUL al II-lea  
(30 de puncte)  
1
.
.
2∗2 =2⋅2⋅2 −2⋅2 −2⋅2 +3 =  
8 −4 −4 +3 =3  
x∗y =2xy −2x −2y +2 +1=  
3p  
2p  
2p  
=
2
=
2x(y −1)−2(y −1)+1=2(x −1)(y −1)+1, pentru orice numere reale x și y  
3p  
3
4
.
x∗3 =2(x −1)3 −1 +1=x −1+1=x , pentru orice număr real x  
−1 (x −1)+1=x −1+1=x =x∗3 , pentru orice număr real x , deci e =3 este  
2p  
2
2  
3 ∗  
2
x =23  
2  
2
2
3p  
2p  
3p  
elementul neutru al legii de compoziție „∗”  
.
2
∗5 =2(2 −1)−1 +1=2⋅1 +1=  
5  
4  
3
2
3
2
4
4
5 ∗  
4
2 =25  
−1 (2 −1)+1=2⋅1 +1=  
, deci 5 este simetricul lui 2 în raport cu legea de  
4
4  
4
compoziţie „∗”  
5
6
.
.
2
(x +1−1)(x −1−1)+1=1⇔x(x −2)=0  
x =0 sau x =2  
(n −1)(n +1−1)+1≤5 ⇔(n −1)n ≤2  
Cum n este număr natural nenul, obținem n =1 sau n =2  
3p  
2p  
2
2p  
3p  
Probă scrisă la matematică M_pedagogic  
Barem de evaluare şi de notare  
Model  
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare  
Pagina 1 din 2  
Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
SUBIECTUL al III-lea  
(30 de puncte)  
1
.
1
4
=1⋅(−2)−(−3)⋅4 =  
det A = −  
3 −2  
3p  
2p  
2p  
=
−2 +12 =10  
2
.
B ⋅B =27 −6  
−
12  
3
30 −63 0 27 −6  
6
B −3I2 =  
−
=
=B ⋅B  
3p  
2p  
    
0 3 −12  
3
−
12  
6
    
4x   5y −y x +5y  
3
4
.
.
xA+yB =  
x
+
=
4x −y   
   
−2y  
   
−
3x −2x  
y
 −3x −2y −2x +y  
   
4x −y   7 7   
x +5y  
=
, de unde obținem x =2 și y =1  
−8 −3  
3p  
2p  
3x −2y −2x +y   
−
   
det B =3  
1
1   
−
1 =  
3
3
5
B
3p  
2
3
3  
5
6
.
.
X =B −A ⇒ X =1  
4 −5  
2p  
3p  
2p  
3p  
3
det X = 14 −35 =17 ≠0 , deci matricea X este inversabilă  
A +aI2 =1−+a  
4   
⇒ det(A +aI2 )=a2 −a +10 =  
a −2  
3
2
1 +39 >0 , pentru orice număr real a  
=
a −  
2   
4
Probă scrisă la matematică M_pedagogic  
Barem de evaluare şi de notare  
Model  
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare  
Pagina 2 din 2