Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
Examenul de bacalaureat naţional 2019  
Proba E. c)  
Matematică M_mate-info  
Model  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică  
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.  
Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.  
SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete.  
(30 de puncte)  
3
1
. Determinați elementele mulțimii M = xℤ  
.  
5
p
p
x +1  
2. Se consideră x1 și x2 soluțiile ecuației x2mx1=0 , unde m este număr real. Determinați  
5
x12 1 x1 =2.  
2
2
numărul real m , știind că  
+
x1  
x2  
5
p
p
3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2x x =0 .  
4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = log2 n n , n 20 , acesta să  
5
{
}
fie număr natural.  
5
p
p
5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M (0,2) și P(1,1). Determinați ecuația  
mediatoarei segmentului MP .  
5
6. Se consideră triunghiul ABC cu AB =5 2 , m(A)=45° şi m(C)=30°. Determinați  
lungimea laturii BC .  
SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete.  
(30 de puncte)  
1
2
4   
x +2y +4z =5  
1
. Se consideră matricea M (m)=1 m1 și sistemul de ecuațiix +my z =−2 , unde m  
m
1
3
mx +y +3z =4  
este număr real.  
5
5
p
p
a) Arătați că det(M (0))=3 .  
b) Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluție unică.  
2
0
2
5
p
c) Pentru m =1, determinați soluțiile (x0, y0, z0 ) ale sistemului pentru care 4y =(x0 +z0 ) .  
2
. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru,  
xy =1 xy 12 (x +y)+94  
3
.
p a) Demonstrați că x y =1  
x 3   
y 3  
2   
+
3 , pentru orice numere reale x și y .  
5
  
3
2   
2
5
5
p
p
b) Determinați numerele reale x pentru care xx x =x .  
c) Demonstrați că nu există niciun număr natural n al cărui simetric în raport cu legea de compoziție  
” să fie număr natural.  
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete.  
(30 de puncte)  
1
. Se consideră funcţia f :, f (x)=x ln x2 +x +1 .  
( )  
5p a) Arătați că f '(x)= x(x1)  
x2 +x +1  
, x.  
Probă scrisă la matematică M_mate-info  
Model  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică  
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  
Pagina 1 din 2  
Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
5
p
p
b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcţiei  
f este paralelă cu dreapta de ecuație y =−1 x +2 .  
7
5
c) Demonstrați că pentru fiecare număr natural nenul n , ecuația f (x)+n =0 are soluție unică.  
x
2
. Se consideră funcţia f :, f (x)= x .  
e
2
x
5
p
p
a) Arătați că e f (x)dx =2 .  
0
5
b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații  
x =−1 și x =1 are aria egală cu 22  
.
e
1
n
5p  
c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră In = x f (x)dx . Demonstrați că  
0
nlim+(n +2)In =1e  
.
Probă scrisă la matematică M_mate-info  
Model  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică  
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  
Pagina 2 din 2  
Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
Examenul de bacalaureat naţional 2019  
Proba E. c)  
Matematică M_mate-info  
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE  
Model  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică  
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  
Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.  
Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în  
limitele punctajului indicat în barem.  
Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat  
pentru lucrare.  
SUBIECTUL I  
(30 de puncte)  
3p  
1
.
.
3
x +1=1 sau x +1=3  
x +1  
Elementele mulțimii M sunt 0 și 2  
2p  
2p  
2
x12 1=mx1 , x1=mx2 , pentru orice număr real m  
2
2
mx mx  
1 +  
2 =2, deci m =1  
3
p
x1  
x2  
x =x 2 x =x2 x2 +x 2 =0  
x =−2 , care nu convine sau x =1, care convine  
3
4
.
2
3p  
2p  
1p  
. În mulțimea A sunt 20 de numere, deci sunt 20 de cazuri posibile  
Pentru n20 , obținem log2 nn{1,2,4,8,16}, deci sunt 5 cazuri favorabile  
2p  
p =nr. cazuri favorabile = 5 =1  
4
2
2
p
p
nr. cazuri posibile  
20  
5
6
.
.
mMP =−1, deci panta mediatoarei segmentului MP este m =1  
1 3   
2 2   
este mijlocul lui MP , deci ecuația mediatoarei este y =x1 y =x +1  
3
Q
,
3p  
2
2
AB  
BC 5 2 =BC  
=
sinC sin A  
1
2
2
3p  
2
BC =10  
2p  
SUBIECTUL al II-lea  
(30 de puncte)  
1
.a)  
1
2
4   
1
2
4
M (0)=1 01 det(M (0))= −1 01 =  
2p  
0
1
3
0
1
3
=
0 +(4)+0 0 (6)(1)=3  
3p  
2p  
b)  
1
2
4
det(M (m))= −1 m1 =−4m2 +m +3, pentru orice număr real m  
m
1
3
3
3   
det(M (m))=0 m =− sau m =1, deci sistemul are soluție unică pentru m\ ,1  
3p  
4
4   
c) Pentru m =1, sistemul este compatibil nedeterminat și soluțiile sistemului sunt  
32α,1α,α), unde αℂ  
3
p
(
4
(1α)2 =(3α)2α=−1 sau α=5 , deci soluțiile sunt (5,2,1) sau ,2 , 5  
1  
2p  
   
3 3 3  
3
Probă scrisă la matematică M_mate-info  
Barem de evaluare şi de notare  
Model  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică  
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  
Pagina 1 din 2  
Ministerul Educaţiei Naționale  
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  
2
.a)  
b)  
xy =1 xy 1 x 1 y +3 +6  
=
2p  
3p  
3
2
2
4
4
=1  
x y −  
(
3
2
1
2
3
2
3
2
=1  
3
2
3
2
3
3
2
, pentru orice numere reale x și y  
)(y )+  
(x )(y )+  
3
3
2
xx =1  
3
3 , xxx =  
1
9
3
2
3
2
(x 2) +2  
(x ) +  
2p  
3p  
2p  
3
3
(x ) +  
1
9
3
2
3
2
=x x =− sau x = sau x =9  
3
2
3
2
2
c)  
x 9 =9 x =x , pentru orice număr real x , deci e =9 este elementul neutru al legii”  
2
2
2
nn' =n'n =9  
4nn'6n 6n' =27 , unde n' este simetricul lui n și, cum pentru  
2
3
p
n, n', numărul 4nn'6n6n' este par, obținem că nu există niciun număr natural n al  
cărui simetric în raport cu legea de compoziție „” să fie număr natural  
SUBIECTUL al III-lea  
(30 de puncte)  
3p  
1
.a)  
2x +1  
x2 +x +1  
f (x)=1−  
x2 x  
=
x(x 1) , xℝ  
=
=
2p  
x2 +x +1 x2 +x +1  
b)  
Tangenta la graficul funcției f în punctul (a, f (a)) este paralelă cu dreapta de ecuație  
y =−1 x +2 f '(a)=−1  
2
p
7
7
a(a 1) =8a26a +1=0 a =  
1
1
4
sau a =1  
3p  
a2 +a +1  
7
2
c)  
f continuă pe, xlimf (x)=−∞, f (0)=0 , f (1)=1ln3(1,0)  
3
1
p
p
f este strict descrescătoare pe (0,1) și f este strict crescătoare pe (1,+∞), deci, pentru  
fiecare n* , ecuația f (x)+n =0 nu are nicio soluție în [0,+∞)  
f este strict crescătoare pe (−∞,0) pentru fiecare n* , ecuația f (x)+n =0 are  
soluție unică în (−∞,0), deci pentru fiecare n* , ecuația f (x)+n =0 are soluție unică  
1
p
2.a)  
2
2
2
x2  
2
x
x
x
e f (x)dx = e x dx = xdx =  
=
2 0  
3p  
2p  
3p  
0
0
0
e
=
2 0 =2  
1
b)  
0
1
0
x 1  
=
0
x
x  
x  
A =  
1 f (x)dx =1  
xe dx + xe dx =(x +1)e  
(x +1)e  
0
1  
2
+1=2 2  
=1e  
2p  
2p  
e
c)  
1
1
1
1
1
e
0
n +2)In =(n +2) x f (x)dx =(n +2) xn+1exdx = (xn+2 )'exdx = + xn+2exdx  
n
(
0
0
0
1
1
1
0
x 11e e1 1e xn+2x  
e
xn+2 1e xn+2dx xn+2exdx xn+2dx  
1p  
x
n+2 x  
0
0
0
1
1
1
1
Cum lim xn+2  
=0, obținem lim  
x
n+2exdx =0 nlim+(n +2)In =  
2p  
n→+∞  
dx =nlim+∞n +3  
n→+∞  
e
0
0
Probă scrisă la matematică M_mate-info  
Barem de evaluare şi de notare  
Model  
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică  
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică  
Pagina 2 din 2